ÜNLÜ PROBLEMLER

Hala çözülememiş problemlerin yanında, çözümleri neredeyse efsane olmuş problemler, teoremler; tarihleri, önemleri. Bu sayfalarda, çözümlerini vermeyeceğiz ama çözümlerinin getirdiği ilerlemeleri inceleyeceğiz. Ünlü Problemler Yeryüzünde henüz cevabını kimsenin bilmediği sorular var! Goldbach Kestirimi Asal Sayılardan Karışık Mükemmel Sayı Sorusu Palindromik Sayılar Collatz Problemi Riemann Hipotezi Binyılın Problemleri Goldbach Kestirimi 1742'de Goldbach, Euler'e yazdığı bir mektupta "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir" önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematikseverleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı. Ayrıca, 2'den başlayarak her çift sayıya 3 sayısı (ki bu bir asal sayı) ekleyerek tek sayılar kümesi elde edilebildiğine göre (örneğin:5=2+3; 7=4+3; 9=6+3...) her çift sayı 2 asal sayının toplamı ise her tek sayı da üç asal sayının toplamıdır denilebilir. Bu ifade de zayıf (ya da tek) Goldbach kestirimi olarak bilinir. Henüz bunun da bir yanıtı yok. Asal Sayılardan Karışık Asal sayılara ilişkin pek çok bilgi henüz gün ışığına çıkmadı. Bunun yanı sıra ortaya atılmış ama ispatlanmamış pek çok da kestirim var. İşte bunlardan birkaçı: * n2 ve (n + 1)2 arasında daima bir asal var mıdır? * İkiz Asallar: İkiz asallar yani aralarındaki fark 2 olan asallar sonsuz tane midir? (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43). ..??? * Bugün hala sonsuz tane elemanı olduğu kesin olarak ispatlanmayan (ama öyle olduğu tahmin edilen) bir diğer küme de farkı 2n olan asal çiftlerinin oluşturduğu kümelerin hepsinin sonsuz tane eleman içerdiği sanısı.Bu kestirimi ortaya atarak problemi genel bir boyuta taşıyansa da Alphonse de Polignac (1849). Örneğin Kuzen asallar olarak bilinen aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman içerir mi? * (n2 +1) formunda yazılabilen sonsuz tane asal var mıdır? * Fermat Asalları: 17. yüzyılda amatör matematikçi ünvanı ile bilinen Fermat asal sayılar konusuna oldukça önemli katkılarda bulundu. Bu katkılar arasında doğru olduğunu iddia edip ispatlayamadığı kestirimler de vardı. Örneğin  + 1 biçimindeki sayıların her n doğal sayısı için bir asal verdiğini iddia etti. Bu biçimdeki sayılara Fermat sayıları asal olanlara da Fermat asalları denir. Gerçekten de 5'e kadar tüm doğal sayılar için asal değer veren ifadenin yanlış olduğu ancak 100 yıldan fazla zaman sonra anlaşılabildi. n=5 için 232 + 1 = 4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünün farkına varansa Euler oldu. Bugün ispatı yapılması beklenen önermelerden bir diğeriyse "Fermat asalları sonlu tanedir" kestirimi. Bu ifadenin en güçlü gerekçesiyse şimdiye kadar sadece 5 tane Fermat asalının bulunmasıdır *Mersenne Asalları: Fermat'ın sıkça fikir alışverişinde bulunduğu çağdaşı Mersenne 2n - 1 şeklindeki sayılar üzerinde çalışıyordu. Mersenne sayıları (Mn) adı verilen bu sayıların başlangıçta n asal olduğunda asal değer verdiği düşünüldü. Gerçekten de n=11'e kadar doğru çalışan fikir 11'de asal olmayan bir değer alınca bu düşüncenin de yanlış olduğu anlaşılabildi ama 2n - 1'in asal olması için n'nin asal olması gerektiği şartı doğrudur. Yine de matematikçiler bu sayıların peşini bırakmadı. Sonsuz tane olup olmadıkları hala merak edilen Mersenne sayılarından Aralık 2005 itibariyle 43.sü bulundu. Mükemmel Sayı Sorusu Mükemmel sayı kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır. Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel bir sayıya rastlanmamış. Merak edilen böyle bir sayının varolup olmadığı. Eğer vardır diyorsanız bu sayıyı, saklandığı yerden bulup çıkarmalı, ya da olmadığını iddia ediyorsanız bunu ispatlamalısınız. Palindromik Sayılar Kapak, kütük, sus, yay, kepek kelimeleri ilginç bir ortak özellik ile dikkat çekiyor: düzden ve tersten okunduğunda aynı. Benzer bir yapıya sahip olan palindromik sayılar da düzden ve tersten okunduğunda aynı olan sayılardır: 1991, 10001, 12621, 79388397, 82954345928. Bu alandaki açık soru ise şöyle: Hem asal hem de palindromik olan sonsuz tane asal sayı bulunabilir mi? Collatz Problemi Önce bir pozitif tamsayı seçin. Bu sayıya yapılcak işlem şu: Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2'ye bölün. Aynı işleme çıkan sayıya uygulayın. En sonunda elde edeceğiniz sayı1'dir. Örneğin 8 sayısını ele alalım: 8-(2'ye böl)-4-(2'ye böl)-2-(2'ye böl)-1 5-(3 katını al 1 ekle)-16-8-4-2-1 Seçtiğiniz sayıya dikkat edin. Örnek olarak 27 sayısını seçtiyseniz 1 sayısını bulmanız için 112 basamak ilerlemeniz gerektiriyor. Tabi kaç basamak alacağı sayının büyük veya küçük olmasıyla ilgili değil. Sadece bu algoritmanın her zaman 1 cevabını verdiğini ispatlamanın peşinde koşmayın. Unutmayın ki sonunda 1 vermeyen bir sayı da varolabilir ve bu da, sorunun cevaplandığı anlamına gelir. Riemann Hipotezi Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 - 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi. Söz konusu olan fonksiyon şöyle: Bu fonksiyon s'nin 1 dışındaki her kompleks sayı değeri için tanımlıdır. Riemann Hipotezine göre bu fonksiyonun, (s) = 0 ifadesini sağlayan tüm önemsiz olmayan s değerleri, reel kısmı ½ olan düşey doğru üzerine düşer (bu doğruya kritik doğru deniyor). İlk 1 500 000 000 değer için bu doğruluk tespit edilmiş olsa da asıl istenen, söz konusu tüm değerler için doğru olduğunun ispatlanması. Bu sorunun başında 1 milyon dolar ödül konulduğunu unutmayın! Binyılın Problemleri: 1 milyon dolar kazanmak isteyenlere! 1 milyon dolar, yani bugün yaklaşık 1,5 milyon YTL (1,5 trilyon TL) kazanmak ister misiniz? Bunun için yapmanız gereken tek şey, belirlenmiş 7 sorudan birinin doğru cevabını vermeniz lazım. Defter, kitap serbest; süre sınırlaması da yok! Cevabı ilk veren siz olun da isterseniz aradan 100 yıl geçsin. Dikkatli olun, çünkü sözkonusu sorular, yeryüzünde henüz yanıtını kimsenin bilmediği ve uzun yıllar boyu çözülmeye ısrarla direnen cinsten sorular. Aynı zamanda, cevabı bulanın da yaşam standartlarını değiştirecek sorular bunlar. İlginç olansa başarıya ulaşan insanlar, özellikle de matematikçiler, bu paranın hayalini kurdukları için değil matematik yapmayı sevdikleri ve bu alanda başarı istedikleri için kolları sıvıyorlar. Para, bu başarının sonunda gelen bir ödülden başka birşey değil, onlar için. Cambridge Massachusetts 'de kurulan Clay Matematik Enstitüsü, 24 Mayıs 2000'de çözülmekte inatçı, matematiğin farklı branşlarındaki 7 problemini Milenyum Problemleri olarak adlandırdığını ve her bir problemi ilk çözen kişiye 1'er milyon dolar vereceğini ilan etti. Bu soruları anlamak, bir parça matematik temeli gerektiriyor. Bu durum matematiğin, hızla büyümesinin ve lise eğitiminin onu yakalamaya yetmemesinin bir sonucu olabilir. Soruları anlamak için üniversitede matematik okumak şart değil elbette, sadece Fermat'ın son teoremini, Goldbach ya da ikiz asallar kestirimini anlamaktan daha fazla çaba sarfetmek lazım. Eğer Riemann Hipotezi, P, NP'ye karşı Hodge Kestirimi, Yang-mills Kuramı, Poincare Kestirimi, Navier Stokes denklemleri, Birch ve Swinnerton-Dyer Kestirimi başlıklı sorulardan birinin yanıtını bulduysanız bu organizsonu yapan Clay Matematik Enstitüsü'ne yollamadan önce uluslarası kabul gören hakemli bir dergide yayınlamanız gerekiyor. Daha ayrıntılı bilgi için www.claymath.org *Clay Enstitüsü'nün belirlemiş olduğu bu 7 problemin 1 tanesi, Pointcaré Kestirimi 2006'da resmi olarak teoren-m haline geldi. Petersburg'daki Steklov Enstitüsü matematikçilerinden Grişa Perelman'ın 2002'de yayınladığı ispatın doğru olduğu resmen 2006 Dünya Matematikçiler Birliği'nin Madrid'teki kongresinde açıklandı. Diğer taraftan, Navier-Stokes Denklemleri'nin de 2006 içinde çözüldüğü duruldu. Ancak değerlendirmeler devam ediyor. Şu an için 1000 yılın promlemlerinden çözüm bekleyenlerin sayısı 5 taneye düşmüş gözüküyor.

Dünyanın En Ünlü 6 Çözülemeyen Sorusu

Dünyanın En Ünlü 6 Çözülemeyen Sorusu
1-Goldbach Kestirimi

1742'de Goldbach, Euler'e yazdığı bir mektupta "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir" önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematikseverleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı.

Dünyanın En Ünlü 6 Sorusu

Dünyanın En Ünlü 6  Sorusu

Çözülemeyen Sorusu : 1
-Goldbach Kestirimi 1742'de Goldbach, Euler'e yazdığı bir mektupta "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir" önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi.

Kainatın 10 gizemi

Evren...Her gün üzerinde nefes alıp verdiğimiz minicik dünya ile uzayın ve zamanın sonsuz büyüklüğü arasındaki inanılmaz gizemi kavrayabilmek insanoğlunun en eski uğraşlarından biri.  Her ne kadar evrenin muazzam doluluğunun sırrını hiç keşfedemeyeceğimizi bilsek de, bu bizi evrenin gizeminin cevabını aramaktan alıkoyamadı. Önce din sonra felsefe, insan aklını meşgul etti. Hiç bir zaman evrenin özündeki sırrı tam olarak anlayamayacak da olsak en azından onun çok kompleks bir yapıya sahip olduğu gerçeğini biliyoruz. İşte size kainatınn 10 gizemi... 1)Büyük Birleşme Teorisi 10 yıldır fizikçiler,Newton’nun klasik fizik teorisi ile Einstein’nin izafiyet teorisi arasındaki farkın mantıksal bir açıklamasını bulmaya çalışıyorlar. Bir de bunlara ek Heisenberg’in kuantum fiziğini eklemek kesinlikle gerekli. Her üçü de oyunu kendi kurallarına göre oynuyor ve birbirini pek ciddiye almıyor. Bu yüzden bilim adamları tüm bu teorilerle uzlaşabilecek ‘Büyük Birleşme Teorisi’ni geliştirdiler. Belki de böyle bir birleşme yok ya da insan aklının alamayacağı kadar çok karmaşık bir şey. Ama bilim adamları bu konuyu daha uzun süre tartışıcak gibi duruyor. 2)Çok yönlü evren Güncel kuantum fiziği içinde bulunduğumuz dünya dışında aynı uzayda ve aynı zamanda başka evrenlerin de varolduğu ihtimalini güçlendiriyor. Fakat bunlar birbirini çok kısıtlı yollarla etkiliyor. Bu evrenler kendi tarihlerine, kendi geleceklerine hatta kendi fizik kurallarına bile sahip olabilirler. 3)Evrenin sonu Bu konuda çeşitli olasılıklar söz konusu. Bunlardan biri, dünya sonsuzluğa doğru genişleyecek. Diğeri, yerçekimi maddeyi hızla yakalayacak ve evren zamanla yavaşlayacak ve tek bir noktaya geri düşecek belki bu da yeni bir patlamayı tetikleyecek. Başka bir teoriye göre de atomlar ve protonlar,maddenin yapı taşları, artık doğal yolla oluşamayacak gibi duruyorlar. Bu yüzden dünya yavaş yavaş gözden kaybolmaya başlayacak. 4)Evrenin başlangıcı Evren nasıl başladı? Ya da gerçekten bir başlangıcı var mı? Güncel teoriler , geçmişte başlayan ve bugüne kadar devam eden maddenin ve enerjinin tümünden tek bir noktada kopan bir büyük patlamadan “Big Bang” den bahsediyolar. Peki bu patlamayı ne başlattı? Maddenin tümü ve enerji nereden geliyor? Eğer tüm evreni ve onun kurallarını tanrı yarattıysa, evren bugün kendi kendine çalışırken o ne yapıyor? 5)Zaman Zamanın ne olduğunu gerçekten bildiğinizi mi düşünüyorsunuz? Zamanla ilgili bir terim kullanmadan onun ne olduğunu anlatmayı deneyin, dilinize zaman sözcüğünden başka bir şey gelemeyeceğini göreceksiniz. Zaman, geçmişte olan ya da gelecekte olacak her olayı birbirinden ayırmamıza sağlayan şey mi? Uzay gibi bir boyut mu, yoksa madde gibi niteliksel bir şey mi, sadece bir illizyon mu?... 6)Karanlık Enerji Yüksek teknolojik aletlerle evrende yapılan güncel deneyler gösteriyor ki uzayda görebildiğimizin üstünde milyonlarca madde miktarı var. Bizse bunların sadece %4 ünü görebiliyoruz. Geri kalanı görülmez yani karanlık. Bunun ne olduğu hakkında birşey bilinmemekle beraber anlık bir esinlenmeyle bunu karanlık enerji olarak nitelendiriyoruz. 7)Bilinç “Akıl ne?” Davranışcılara göre akıl bir şartlı refleks. Düşüncelerimizi dışarıya yansıtış şekillerimizin farklı ve ilginç olduğunu inkar etmek çok zor. Beynimizin çalışma şeklini etkilyen bir ana bölüm var mı? Eğer öyleyse bilgisayarlar bilinçli bir hale gelmeden bu ne kadar sürecek?  Bilinç beyin ölümünü engelleyebilir mi ? gibi akla gelebilecek bir sürü soru var. Denk bir diyalog kurabileceğimiz bir robota sahip olmadan bu soruların cevaplarını bulmak çok zor. 8)Karşıt madde ikilemi Madde ve karşı madde teoride aynı zamanda ve aynı olaylar tarafından yaratılır. Ağır tanecikli atom yaratıldığında aynı kütlenin karşı atomu da yaratılır. Ancak dünya üzerinde bir laborotuarda biz bir karşı atom yarattığımızda, onu kainatta çevremizde bir yerde göremiyoruz. Kimse yaratılan bu karşı atomların nerde olduğunu ya da nerde olması gerektiğini bilmiyor. 9)Tunguska patlaması 30 Haziran 1908’de Rusya’nın ormanlık bir bölgesi olan Tunguska’da bir patlama meydana geldi. Yerel halk binlerce mil ötede parlak mavi bir ışık gördü ve ışık inanılmaz bir şiddetle patladı. Patlamadan sonra yapılan incelemede, civardaki ağaçların havada bir çeşit patlama olmuşçasına merkez noktadan doğru ışınsal bir biçimde devrildikleri görülmüş. Bugün hala bilim adamları o tarihte tam olarak ne olduğunun cevabını veremiyorlar. Patlama sonrası hiç bir parçanın bulunmamış olması da ayrı bir soru işareti. 10)Dünya dışında yaşam var mı? En merak edilen konulardan biri. Acaba evrende dünya dışında da düşünebilen canlılar var mı? Bu konuda bilimadamlarının farklı görüşleri mevcut. Carl Sagan’a göre eğer insanoğlu varsa, evrende düşünebilen diğer canlıların ne sıklıkta varolduğunun bir önemi yok. Sagan, dünyanın dışında evrenin herhangi bir yerinde de başka düşünebilen komşularımızın varolabileceğini belirtiyor. Bununla birlikte Enrico Fermi’ye göre eğer yaşam bu kadar ortaksa, bu zamana kadar evrende yaşayan diğer düşünebilen canlıların hiç bir izinin saptanmamış olması görsel olarak imkansız. Dolayısıyla ortada gerçek bir gizem var.